Геометрия – один из важнейших разделов школьной математики. На ОГЭ геометрия составляет значительную часть предмета, и умение работать с геометрическими фигурами и формулами важно для успешной сдачи экзамена. В данной статье мы собрали все формулы, необходимые для решения задач по геометрии на ОГЭ.
Однако, необходимо понимать, что формулы – это только инструменты, необходимые для работы с задачами. Важно не только знать формулы, но и уметь применять их в различных ситуациях. Поэтому мы также дадим несколько советов по решению задач по геометрии.
Не бойтесь геометрии и формул – с ними можно легко справиться, если правильно подходить к изучению и решению задач. Используйте нашу подборку формул и советов, и вы обязательно сможете успешно сдать ОГЭ по математике.
Периметр и площадь
Периметр – это длина замкнутой линии, ограничивающей плоскую фигуру. Для прямоугольника периметр равен удвоенной сумме длины сторон:
P = 2(a+b)
где a и b – длины сторон прямоугольника.
Площадь – это понятие, означающее количество единиц площади (квадратных метров, квадратных сантиметров и т.д.), принимаемых фигурой. Для прямоугольника площадь можно вычислить по формуле:
S = a * b
где a и b – длины двух сторон прямоугольника.
- Для квадрата периметр вычисляется по формуле: P = 4a, а площадь – по формуле: S = a².
- Для треугольника периметр равен сумме длин всех сторон: P = a + b + c, где a, b и c – длины сторон треугольника. Площадь можно вычислить по формуле Герона:
| Формула Герона: | |
|---|---|
| p = (a+b+c)/2 | S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) |
где p – полупериметр треугольника.
Знание формул для вычисления периметра и площади различных фигур поможет успешно решать задачи на ОГЭ и на экзамене.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора является одной из самых известных и базовых теорем геометрии. Она утверждает, что для любого прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Формула теоремы:
c2 = a2 + b2
где c — длина гипотенузы, a и b — длины катетов.
Теорему Пифагора можно использовать для нахождения любой стороны прямоугольного треугольника, если известны длины двух других сторон. Также она применяется во многих научных и инженерных задачах, связанных с расчетом различных параметров и расстояний.
Запомнить теорему Пифагора поможет мнемоническая формула «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Геометрические фигуры
Геометрическая фигура — это математическое понятие, которое описывает форму или поверхность, состоящую из точек или линий. Геометрия выделяет множество фигур, каждая из которых обладает своими характеристиками и свойствами.
В геометрии различают двумерные и трехмерные фигуры. К двумерным относятся фигуры, описываемые на плоскости, а к трехмерным — фигуры, имеющие объем в пространстве.
К примеру, прямоугольник — это двумерная фигура, имеющая четыре стороны, противоположные пары которых равны друг другу, а все углы прямые. А куб является трехмерной фигурой, имеющей шесть граней, противоположные которых пары равны друг другу, и все углы тупые.
Как правило, геометрические фигуры имеют известные формулы для вычисления их площади, периметра, объема и других характеристик. Ученики должны хорошо знать и понимать эти формулы, так как они встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике.
- Один из примеров таких формул — формула площади треугольника, которая определяется как S = (a * h) / 2, где а — длина одной из сторон треугольника, а h — высота, опущенная на эту сторону.
- Другой пример — формула объема шара, которая определяется как V = (4/3) * π * r^3, где r — радиус шара.
Быть знакомым с алгоритмами вычисления формул геометрических фигур поможет ученикам успешно справиться с заданиями на экзаменах и научит их лучше понимать мир, в котором они живут.
Треугольники
Треугольник — это геометрическая фигура, которая имеет три стороны и три угла. Он является одной из наиболее изучаемых и простых фигур в геометрии.
Существует несколько видов треугольников:
- Равносторонний треугольник — у него все стороны и углы равны между собой.
- Равнобедренный треугольник — у него две стороны и два угла равны между собой.
- Остроугольный треугольник — все углы меньше 90 градусов.
- Тупоугольный треугольник — один из углов больше 90 градусов.
- Прямоугольный треугольник — у него один из углов равен 90 градусов.
Формулы для расчетов треугольников:
| Имя формулы | Обозначение | Формула |
|---|---|---|
| Площадь треугольника | S | S = (a*b*sin(C))/2 |
| Теорема Пифагора | c | c^2 = a^2+b^2 |
| Сумма углов треугольника | — | A + B + C = 180 |
Использование этих формул поможет рассчитать различные параметры треугольника. Также, знание видов треугольников поможет определить их свойства и применение в различных ситуациях.
Важно: При решении задач на ОГЭ не забывайте приводить ответ в правильной форме и обозначать его единицы измерения, если они есть.
Окружности и их элементы
Окружность – это геометрическое место точек, которые расположены на одинаковом расстоянии от центра. Диаметром окружности называется отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через ее центр. Радиусом окружности называется расстояние от центра до любой точки окружности.
Если отрезок, соединяющий две точки окружности не проходит через ее центр, то он называется хордой. Сегментом окружности называется часть окружности, ограниченная хордой и дугообразной линией, соединяющей концы этой хорды. Сектором окружности называется часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугообразной линией.
Существует три возможных положения прямой и окружности. Прямая может быть касательной, то есть касаться окружности в единственной точке. Прямая может пересекать окружность в двух точках, в таком случае она называется секущей. И наконец, прямая может не пересекать окружности, в таком случае она называется некасательной и непараллельной касательной.
Для формул, связанных с описанными выше элементами окружностей, можно воспользоваться таблицей:
| Элемент | Формула |
|---|---|
| Длина окружности | C = 2πr |
| Площадь круга | S = πr² |
| Длина хорды | L = 2r sin(α/2) |
| Длина дуги | L = rα, где α измеряется в радианах |
Прямоугольные трапеции и параллелограммы
Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой один угол является прямым. Она может быть равнобедренной и неравнобедренной. Её площадь вычисляется по формуле:
S = (a + b) * h / 2, где a и b — основания трапеции, h — высота.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Он может быть равнобедренным и неравнобедренным. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
S = a * h, где a — длина основания параллелограмма, h — высота.
Важно запомнить, что диагонали параллелограмма делятся пополам и равны между собой.
- Равнобедренные прямоугольные трапеции и параллелограммы имеют равные диагонали и равны между собой по площади.
- Неравнобедренные прямоугольные трапеции и параллелограммы имеют длину диагоналей, которая вычисляется по формуле:
d = √(a² + b²), где a и b — длины оснований.
Зная эти формулы, можно легко решать задачи, связанные с прямоугольными трапециями и параллелограммами на ОГЭ по математике.
| Признак | Прямоугольная трапеция | Параллелограмм |
|---|---|---|
| Основание | Два | Одно |
| Диагонали | Равны и делятся пополам | Равны и не делятся пополам |
| Углы | Один прямой | Нет прямых углов |
Формулы для вычисления объемов и площадей геометрических тел
Параллелепипед. Объем параллелепипеда можно вычислить по формуле: V=a*b*h, где a, b, h — длины трех его ребер, пересекающихся в одной точке. Площадь поверхности параллелепипеда равна S=2*(a*b+b*h+a*h).
Пирамида. Объем пирамиды можно вычислить по формуле: V=1/3*S*h, где S — площадь основания, h — высота пирамиды. Площадь поверхности пирамиды равна S=Sосн+0.5*Cосн*l, где Sосн — площадь основания, Cосн — периметр основания, l — высота боковой грани.
Шар. Объем шара можно вычислить по формуле: V=4/3*π*r³, где r — радиус шара. Площадь поверхности шара равна S=4*π*r².
Цилиндр. Объем цилиндра можно вычислить по формуле: V=π*r²*h, где r — радиус основания, h — высота цилиндра. Площадь поверхности цилиндра равна S=2*π*r*(r+h).
Конус. Объем конуса можно вычислить по формуле: V=1/3*π*r²*h, где r — радиус основания, h — высота конуса. Площадь поверхности конуса равна S=π*r*(r+l), где l — образующая конуса.
Знание формул для вычисления объемов и площадей геометрических тел необходимо для успешного решения задач на ОГЭ по геометрии. Помните, что формулы учить необходимо не только для решения задач, но и для их правильной интерпретации и применения к реальным ситуациям.