Одним из ключевых критериев успешной сдачи ОГЭ по математике является знание основных формул геометрии. Важность данной темы заключается в том, что геометрия часто является наиболее сложной частью Единого государственного экзамена. Поэтому в этой статье мы рассмотрим основные формулы геометрии, которые могут пригодиться на ОГЭ по математике 2023.
Формулы геометрии можно разделить на две группы: формулы для расчета площади и формулы для расчета периметра. Первая группа формул предназначена для вычисления площади различных фигур, таких как треугольник, прямоугольник, круг, трапеция и другие. Вторая группа формул используется для расчета периметра, т.е. для определения длины границы фигуры.
Знание основных формул геометрии является необходимым условием для успешной сдачи ОГЭ по математике. Это позволяет быстро и точно решать задачи на геометрические конструкции, а также экономить время на экзамене. Поэтому следует внимательно изучить формулы, запомнить их и научиться использовать в решении задач.
Периметр и площадь прямоугольника
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Для прямоугольника с шириной a и длиной b периметр вычисляется по формуле: P = 2a + 2b.
Площадь прямоугольника – это произведение его длины на ширину. Для прямоугольника с шириной a и длиной b площадь вычисляется по формуле: S = ab.
Периметр и площадь прямоугольника связаны между собой. Если известен один из этих параметров, то можно вычислить другой. Например, если известны длина и ширина прямоугольника, можно вычислить его площадь. И наоборот, если известна длина и периметр прямоугольника, можно вычислить его ширину.
Важно знать формулы периметра и площади прямоугольника, так как они используются при решении многих задач и примеров на ОГЭ по математике. Также стоит понимать, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма, а значит, многие формулы и свойства, применимые к параллелограммам, применимы и к прямоугольникам.
Периметр и площадь треугольника
Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, называемыми сторонами. Основные параметры треугольника — периметр и площадь.
Периметр треугольника — сумма длин его сторон. Обозначается буквой P. Формула для вычисления периметра:
P = a + b + c
где a, b и c — длины сторон треугольника.
Площадь треугольника — это половина произведения длины одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне. Обозначается буквой S. Формула для вычисления площади:
S = (a * h) / 2
где a — длина стороны, к которой проведена высота, h — высота, проведенная к этой стороне.
Существуют различные способы вычисления площади треугольника в зависимости от известных параметров (стороны, углы, радиусы вписанной и описанной окружностей и т.д.), но указанная выше формула наиболее распространена.
Зная значения сторон и/или высоты треугольника, можно легко вычислить его периметр и площадь.
Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед — это геометрическое тело, которое имеет шесть прямоугольных граней и углы между плоскостями граней равны прямым.
Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Объем можно найти по формуле:
| V = | l | w | h |
где l, w, h соответствуют длине, ширине и высоте параллелепипеда соответственно.
Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. Площадь поверхности можно найти по формуле:
- S= 2(lw + wh + lh)
где каждый из членов в скобках соответствует площади грани.
Найдя объем и площадь поверхности, можно рассчитать параметры параллелепипеда и использовать эти знания не только в математике, но и в повседневной жизни.
Объем и площадь поверхности пирамиды
Пирамида – это геометрическое тело, у которого основание – многоугольник, а боковые грани – треугольники. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1/3) * S * h, где V – объем пирамиды, S – площадь основания, h – высота пирамиды.
Для вычисления площади поверхности пирамиды нужно сложить площади ее боковых граней и площадь основания. Формула площади поверхности пирамиды:
S = Sосн + Sбок, где Sосн – площадь основания, Sбок – сумма площадей боковых граней.
При этом площадь боковой грани может быть найдена по формуле:
Sбок = (a * l) / 2, где a – длина стороны основания, l – образующая пирамиды, связывающая вершину с серединой ребра.
Для удобства вычислений можно использовать таблицу, где указаны все формулы для нахождения объема и площади поверхности пирамиды:
| Формула | Значение | |
| Объем пирамиды | V = (1/3) * S * h | S – площадь основания, h – высота пирамиды |
| Площадь поверхности пирамиды | S = Sосн + Sбок | Sосн – площадь основания, Sбок – сумма площадей боковых граней |
| Площадь боковой грани пирамиды | Sбок = (a * l) / 2 | a – длина стороны основания, l – образующая пирамиды |
Объем и площадь поверхности цилиндра
Цилиндр — это геометрическое тело, представляющее собой прямоугольную фигуру, поверхность которой всюду параллельна оси цилиндра. Обычно для обозначения используются два параметра: радиус основания (R) и высота (h).
Чтобы найти объем цилиндра, необходимо умножить площадь основания на высоту. Формула выглядит так: V = πR²h. Где π (пи) — математическая константа, равная примерно 3,14.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: Sб = 2πRh. Площадь основания равна Sосн = πR². Площадь полной поверхности цилинда складывается из площадей оснований и боковой поверхности. Sпол = 2πR² + 2πRh = 2πR(R + h).
Если при решении задачи необходимо найти только боковую поверхность цилиндра, то формулу можно записать иначе: Sб = 2πRl, где l — образующая цилиндра, то есть расстояние между точками, лежащими на окружности основания и непосредственно противоположенные друг другу точки на втором основании.
Для упрощения расчетов можно использовать таблицу со значениями объемов и площадей поверхности цилиндра для различных комбинаций R и h. Она поможет быстро находить нужные значения без необходимости повторного применения формулы.
| R | h | V | Sб | Sпол |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 50,24 | 50,24 | 75,36 |
| 3 | 5 | 141,37 | 94,24 | 188,50 |
| 4 | 6 | 301,59 | 150,72 | 301,59 |
Расстояние между двумя точками на плоскости
Расстояние между двумя точками на плоскости можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:
d = √((x2 — x1)² + (y2 — y1)²)
где (x1, y1) и (x2, y2) — координаты двух точек на плоскости.
Данная формула является следствием теоремы Пифагора, которая устанавливает связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Если точки имеют одну из координат одинаковыми, то расстояние между ними можно вычислить по формуле:
d = |y2 — y1| или d = |x2 — x1|
Таким образом, зная координаты двух точек на плоскости, можно легко вычислить расстояние между ними.